み枡屋亭主のブログ

今年は、読書が楽しい年だった。
NHK木曜時代劇「銀二貫」がよかったものだから、原作を読み、感動した勢いのままに作者高田都の代表作「みおつくし料理帖」を読み尽くした。
暮れ近くなって、発売日を間違えたため手に入らなかったコミック単行本の代わりに買った「ポアンカレ予想」には、塩野七生「ローマ人の物語」で古代世界への見方が根底から変わったのと同じくらい、幾何学という数学分野のユークリッド以来２３００年の歴史を変えた位相幾何学における「数学的発想･思考力」のすばらしさに感動した。
位相幾何学とは、がちがちの文化系教養しかない自分にとっては、空間に浮かぶさまざまな形や変形したらどうなるかを扱う「どうでもいい」分野だった。ユークリッド幾何学の発展形ぐらいの認識しかなかった。
ところが位相幾何学、いや非ユークリッド幾何学の創始者ドイツ人のリーマンは次のような定義を行った。


１．物理的空間とは区別される数学的空間について定義をし、その定義に厳密に従う数学を構築する。
２．直線を、実数が連続する数直線とする。直線上の１点で交わる直線を想定し、交点を０とし方向によってプラスとマイナスの符号を与える。
３．空間はこれらの数直線上の実数を使って与えられる座標にある点の集合とする。よって２本の直線では二次元の空間が、３本では３次元、そして拡張すれば無限次元に至るまでの空間（多様体）を記述できる。
４．これらにより「曲がった」空間を定義できる。どのくらい曲がっているかは、空間に描かれた三角形の内角の和が１８０度より大きければ「正」小さければ「負」とする。
･･･他にもあるが省略する･･･

幾何学といわれて「紙と定規とコンパス」の学問だと思っていたのが、代数によって記述可能になったという革命である。
アインシュタインの一般相対性理論は、リーマンの数学なしには生まれなかった。
質量のあるところには重力があり、重力とは空間の曲がりであるという記述を考えてもみよ。

４０歳で病没したリーマンと同じ発想に立ち、それらを精密に発展させ完成させたのがフランスの１９～２０世紀の知の巨人ポアンカレである。
そして彼が証明できなかった位相幾何学的予想「ポアンカレ予想」は、１００年間数学者を翻弄したのである。
新潮文庫「ポアンカレ予想」という書物は、この数学者たちの努力と苦悩を描いて読者を引きつける。
位相幾何学の発想（多様体同士を貼り合わせる、切断するとか）や用語「多様体」「同相」「写像」は載せられているが、数学記号や数式は出てこない。位相幾何学の諸概念も面倒なら理解できなくてもよい。ちょうど「一般相対性理論」や「量子力学」が数式なしに読んでもかまわないのと同じと思えばよい。

ポアンカレ予想は、確か昨年のNHKスペシャルで取り上げられてご存じの方も多いだろうが、２１世紀にはいりグレゴリー･ペレルマンというロシアの数学者によって、位相幾何学的手法ではなく「偏微分方程式」を用いる解析的手法で証明された。ペレルマンは、ポアンカレ予想の証明にかけられた賞金も「フィールズ賞（数学界のノーベル賞といわれる）」も拒否した。
と最後の方に簡単に記述されるだけである。
適当な想像力、いや具体的な事象を思い浮かべ、真っ昼間から「妄想」できる人なら、一読することを強くお勧めする。

ちなみに、引き続き数学教養書を拾ってみようと思う。たぶん次は「素数の音楽」新潮文庫になるだろう。